លីមីតស្វ៊ីត #0001

លំហាត់ ១
 
គេឲ្យស្វ៊ីត \displaystyle \left( x _ { n } \right) ដែលកំណត់ដោយ \displaystyle x _ { k } = \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \ldots + \frac { k } { ( k + 1 ) ! }
គណនា \displaystyle \lim _ { n \rightarrow + \infty } \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } }

 

សូម Subscribe YouTube Channel ដើម្បីទទួលបានវីដេអូល្អៗ

 

 
សម្រាយ
យើងមាន \displaystyle x _ { k } = \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \ldots + \frac { k } { ( k + 1 ) ! }
យើងបាន \displaystyle x _ { k + 1 } = \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \ldots + \frac { k } { ( k + 1 ) ! } + \frac { k + 1 } { ( k + 2 ) ! }
\displaystyle \Rightarrow x _ { k + 1 } = x _ { k } + \frac { k + 1 } { ( k + 2 ) ! }
\displaystyle x _ { k + 1 } - x _ { k } = \frac { k + 1 } { ( k + 2 ) ! } > 0 , \forall k \in \mathbb { N } ^ { * }
\displaystyle x _ { k + 1 } > x _ { k }
\displaystyle \Rightarrow x _ { 2019 } ^ { n } < x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } < 2019 \cdot x _ { 2019 } ^ { n }
\displaystyle x _ { 2019 } < \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } } < \sqrt [ n ] { 2019 } x _ { 2019 } (1)
ម្យ៉ាងទៀតចំពោះ \displaystyle x _ { k } = \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \ldots + \frac { k } { ( k + 1 ) ! }
ពិនិត្យ \displaystyle \frac { k } { ( k + 1 ) ! } = \frac { k + 1 } { ( k + 1 ) ! } - \frac { 1 } { ( k + 1 ) ! } = \frac { 1 } { k ! } - \frac { 1 } { ( k + 1 ) ! }
យើងបាន \displaystyle x _ { k } = \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ! } \right) + \left( \frac { 1 } { 2 ! } - \frac { 1 } { 3 ! } \right) + \ldots + \left( \frac { 1 } { k ! } - \frac { 1 } { ( k + 1 ) ! } \right) = 1 - \frac { 1 } { ( k + 1 ) ! } \displaystyle \Rightarrow x _ { 2019 } = 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } (2)
តាម (1) និង (2) យើងបាន \displaystyle 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } < \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } } < \sqrt [ n ] { 2019 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } \right) \displaystyle \lim _ { n \rightarrow + \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } \right) < \lim _ { n \rightarrow \infty \atop n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 0019 } ^ { n } } < \lim _ { n \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt [ n ] { 2019 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } \right) \right] \displaystyle 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } < \lim _ { n \rightarrow + \infty } \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } } < 1 - \frac { 1 } { 2020 ! } \displaystyle \Rightarrow \lim _ { n \rightarrow + \infty } \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } } = 1 - \frac { 1 } { 2020 ! }
ដូចនេះ \displaystyle \lim _ { n \rightarrow + \infty } \sqrt [ n ] { x _ { 1 } ^ { n } + x _ { 2 } ^ { n } + \ldots + x _ { 2019 } ^ { n } } = 1 - \frac { 1 } { 2020 ! }

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*